एकविसाव्या शतकातील संगणकाच्या युगात वावरताना प्रत्येकाला यशस्वी होण्यासाठी स्पर्धा परीक्षांची तयारी करणे आवश्यक आहे. ही तयारी योग्य प्रकारे झाली पाहिजे म्हणूनच भूमिती विषयाचे महत्त्वाचे नियम व सूत्रे आपण पाहणार आहोत.
स्पर्धा परीक्षेसाठी महत्त्वाचे भूमिती चे नियम व सूत्रे-
* बिंदू : अतिशय अणकुचीदार टोकाने काढलेल्या टिंबाला बिंदू असे म्हणतात.
* रेषाखंड : रेषेवरील कोणत्याही दोन भिन्न बिंदूतून मर्यादित झालेल्या तिच्या भागाला रेषाखंड म्हणतात.
* रेषा : रेषा म्हणजे अनंतबिंदूंचा संच जो दोन्ही टोकांकडे अमर्याद असतो.
* दोन भिन्न बिंदूतून एक आणि एकच रेषा जाते.
* एका बिंदूतून असंख्य रेषा जातात.
* एका रेषेवर अनंत बिंदू असतात.
* एका बिंदूतून अनेक रेषा काढता येतात.
* रेषा दोन्ही बाजूंनी अमर्याद असते.
* तीन किंवा तीन पेक्षा जास्त बिंदूतून एकच रेषा करता येत असेल तर त्या बिंदूंना एकरेषीय बिंदू म्हणतात.
* जेव्हा तीन किंवा अधिक बिंदूतून जाणारी एकही रेषा काढता येत नाही तेव्हा त्या बिंदूंना नैकरेषीय बिंदू म्हणतात.
* एकाच बिंदूत छेदणाऱ्या तीन किंवा अधिक रेषांना एकसंपाती रेषा म्हणतात व त्यांचे छेदनबिंदूला संपात बिंदू म्हणतात.
* समांतर रेषा :
* एकाच प्रतलात असणाऱ्या पण एकमेकींना न छेदणाऱ्या रेषांना समांतर रेषा म्हणतात.
* एकाच रेषेला लंब असणाऱ्या रेषा परस्परांना समांतर असतात.
* दोन समांतर रेषा परस्परांना कधीही छेदत नाहीत.
* किरण : एका ठराविक बिंदूतून एका दिशेकडे अमर्याद असणाऱ्या आकृतीला किरण म्हणतात.
* जेव्हा दोन किरणांचा आरंभबिंदू एकच असतो व दोन्ही किरण एकाच रेषेवर असतात तेव्हा ते किरण विरुद्ध किरण असतात.
* प्रतल: अमर्यादित सपाट पृष्ठभागाला प्रतल म्हणतात.
* प्रतल अनंतबिंदूंनी बनलेले असते.
* तीन नैकरेषेबिंदूतून फक्त एकच प्रतल जाते.
* परस्परांना छेदणाऱ्या दोन रेषांमधून फक्त एकच प्रतल जाते.
* जेव्हा दोन प्रतले परस्परांना छेदत नाहीत तेव्हा त्यांना समांतर प्रतले म्हणतात.
* कोन: एकच आरंभबिंदू असलेल्या परंतु एकाच रेषेत नसणाऱ्या दोन भिन्न किरणामुळे तयार होणाऱ्या आकृतीला कोन म्हणतात.
* किरणांच्या संयोग संचाला कोन म्हणतात.
* कोन मोजण्यासाठी किंवा काढण्यासाठी कोनमापकाचा वापर करतात.
* शून्य अंश मापाच्या कोणाला शुन्यकोन म्हणतात.
* लघुकोनाचे माप 0 अंश पेक्षा जास्त व 90 अंश पेक्षा कमी असते.
* काटकोनाचे माप 90 अंश असते.
* विशाल कोनाचे माप 90 अंश पेक्षा जास्त व 180 अंश पेक्षा कमी असते.
* 180 अंश मापाच्या कोनाला सरळकोन म्हणतात.
* प्रविशाल कोनाचे माप 180 अंश पेक्षा जास्त व 360 अंश पेक्षा कमी असते.
* पूर्ण कोना चे माप 360 अंश असते.
* ज्या दोन कोनांच्या मापांची बेरीज 180 अंश असते, त्या दोन कोनाला परस्परांचे पूरक कोन म्हणतात.
* ज्या दोन कोनाच्या मापांची बेरीज 90 अंश असते त्या दोन कोनाला परस्परांचे कोटीकोन म्हणतात.
' स्पर्धा परीक्षेसाठी महत्त्वाचे भूमिती चे नियम व सूत्रे'
* कोनाच्या शिरोबिंदूतून निघालेल्या कोनाच्या अंतर्भागातून जाणाऱ्या व त्या कोनाचे दोन एकरूप कोनात विभाजन करणाऱ्या किरणाला त्या कोनाचा कोनदुभाजक म्हणतात.
* छेदिका: जेव्हा एखादी रेषा एका प्रतलातील दोन किंवा अधिक रेषांना भिन्न बिंदूत छेदते तेव्हा त्या रेषेला छेदिका म्हणतात.
* जर छेदिकेने दोन समांतर रेषांना छेदले असेल,तर प्रत्येक जोडीतील कोन परस्परांचे पूरक असतात.
* दोन समांतर रेषांना छेदिकेने छेदले असता मिळणाऱ्या संगत कोनाच्या जोड्या एकरूप असतात.
* त्रिकोण: तीन बाजूंनी बंदिस्त असलेल्या आकृतीला त्रिकोण म्हणतात.
* त्रिकोणाला तीन कोन, तीन बाजू, तीन शिरोबिंदू असतात.
* त्रिकोणाच्या बाजू व त्रिकोणाचे कोन यांना त्रिकोणाचे घटक म्हणतात.
* त्रिकोणाच्या तिन्ही कोनांच्या मापांची बेरीज 180 अंश असते.
* त्रिकोणाच्या बाह्य कोना चे माप त्याच्याशी असंलग्न असलेल्या अंतर कोनाच्या मापांच्या बेरजे एवढे असते.
* त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूतून समोरील बाजूवर काढलेल्या लंबरेषा खंडाला त्रिकोणाचा शिरोलंब म्हणतात.
* त्रिकोणाचा शिरोबिंदू व त्या समोरील बाजूचा मध्यबिंदू यांना जोडणाऱ्या रेषाखंडास त्रिकोणाची मध्यगा म्हणतात.
* त्रिकोणात एक काटकोन व दोन कोन लघुकोन असल्यास त्याला काटकोन त्रिकोण म्हणतात.
* त्रिकोणात तिन्ही कोनाची मापे 90 अंश पेक्षा कमी असल्यास त्याला लघुकोन त्रिकोण म्हणतात.
* त्रिकोणात एका कोनाचे माप 90 अंश पेक्षा जास्त व दोन कोन लघुकोन असल्यास त्याला विशालकोन त्रिकोण म्हणतात.
* ज्या त्रिकोणाच्या तिन्ही बाजू एकरूप असतात त्या त्रिकोणाला समभुज त्रिकोण म्हणतात.
* ज्या त्रिकोणाच्या कोणत्याही दोन बाजू एकरूप असतात त्या त्रिकोणाला समद्विभुज त्रिकोण म्हणतात.
* ज्या त्रिकोणाच्या कोणत्याही दोन बाजू एकरूप नसतात त्या त्रिकोणाला विषमभुज त्रिकोण म्हणतात.
* चौकोन : चार बाजूंनी बंदिस्त असलेल्याआकृतीस चौकोन म्हणतात.
* चौकोनाला चार बाजू, चार कोन ,चार शिरोबिंदू व दोन कर्ण असतात.
* चौकोनाच्या चार कोनाच्या मापांची बेरीज 360 अंश असते.
* चौरस : चौकोनाच्या चार समान लांबीच्या बाजूने बंदीस्त असलेल्या आकृतीस चौरस म्हणतात.
* चौरसाचे कर्ण एकरूप असतात.
* चौरसाचे चारही कोन काटकोन असतात.
* चौरसाचे कर्ण परस्परांचे लंबदुभाजक असतात.
* चौरसाचा प्रत्येक कर्ण चौरसाला दुभागतो.
* आयत: ज्या चौकोनाचे सर्व कोन काटकोन असतात त्या चौकोनास आयत किंवा काटकोन चौकोन म्हणतात.
* आयताच्या समोरासमोरील बाजू समान लांबीचे असतात.
* आयताचे कोन एकरूप असतात.
* आयताच्या संमुख बाजू एकरूप असतात.
* आयताचा प्रत्येक कर्ण आयताला दुभागतो.
* समांतरभुज चौकोन : ज्या चौकोनाच्या संमुख बाजू परस्परांना समांतर असतात त्या चौकोनास समांतरभुज चौकोन म्हणतात.
* समांतरभुज चौकोनाच्या संमुख बाजू एकरूप असतात.
* समांतरभुज चौकोनात संमुख कोन एकरूप असतात.
* समांतरभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांना दुभागतात.
* समभुज चौकोन : ज्या समांतरभुज चौकोनाच्या सर्व बाजू एकरूप असतात त्या समांतरभुज चौकोनास समभुज चौकोन म्हणतात.
* समभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांचे लंबदुभाजक असतात.
* समभुज चौकोनाचे संमुख कोन एकरूप असतात.
* समभुज चौकोनाचे कर्ण ज्या कोनाच्या शिरोबिंदूतून जातात ते कोन दुभागतात.
* समलंब चौकोन : ज्या चौकोनात संमुख बाजूंची केवळ एकच जोडी समांतर असते त्या चौकोनास समलंब चौकोन म्हणतात.
* पतंग किंवा पतंगाकृती चौकोन: ज्या चौकोनाच्या लगतच्या बाजूंच्या दोन जोड्या एकरूप असतात अशा चौकोनाला पतंग किंवा पतंगाकृती चौकोन म्हणतात.
* पतंगाचे कर्ण परस्परांना लंब असतात.
* पतंगात संमुख कोनाची एक जोडी एकरूप असते.
* वर्तुळ: प्रतलातील एका स्थिर बिंदूपासून समान अंतरावर असणाऱ्या बिंदूंचा संच म्हणजे वर्तुळ होय.
* वर्तुळाचा केंद्रबिंदू व वर्तुळावरील कोणताही एक बिंदू जोडणाऱ्या रेषेला वर्तुळाची त्रिज्या म्हणतात.
* एका वर्तुळाला असंख्य त्रिज्या असतात.
* एकाच वर्तुळाच्या सर्व त्रिज्या समान लांबीचा असतात.
* वर्तुळाची त्रिज्या व्यासाच्या निमपट असते.
* त्रिज्या = व्यास ÷ 2
* वर्तुळावरील कोणतेही दोन बिंदू जोडणाऱ्या रेषाखंडात जीवा म्हणतात.
* एका वर्तुळाला असंख्य जीवा असतात.
* वर्तुळाच्या सर्व जीवा असमान लांबीच्या असतात.
* जी जीवा वर्तुळ मध्यातून (केंद्रातून )जाते त्या जिवेला त्या वर्तुळाचा व्यास असे म्हणतात.
* एका वर्तुळाला असंख्य व्यास असतात.
* व्यास ही वर्तुळाची सर्वात मोठी जीवा असते.
* एका वर्तुळाचे सर्व व्यास समान लांबीचे असतात.
* वर्तुळाचा व्यास हा त्या वर्तुळाची सर्वात मोठी जीवा असते.
* वर्तुळाचा व्यास त्रिज्येच्या दुप्पट असतो.
* व्यास= 2× त्रिज्या
* वर्तुळाचे सर्व व्यास एकमेकांना ज्या बिंदूत छेदतात त्या बिंदूला वर्तुळाचा केंद्रबिंदू म्हणतात.
* वर्तुळाच्या कडेची लांबी म्हणजेच वर्तुळाचा परिघ होय.
* वर्तुळाचा परीघ = 2 × π × त्रिज्या
( π या अपरिमेय संख्येची किंमत सोयीसाठी 22/7 किंवा 3.14 ही घेतात.)
* वर्तुळाकार कडेच्या आतील बाजूला वर्तुळाचा अंतर्भाग म्हणतात.
* वर्तुळाकार कडेच्या बाहेरील बाजूला वर्तुळाचा बाह्य भाग म्हणतात.
* वर्तुळावर कोणतेही दोन बिंदू घेतले की वर्तुळाचे दोन भाग होतात, यापैकी प्रत्येक भागाला वर्तुळकंस म्हणतात.
* दशमान परिमाणे: लांबी ,वजने ,मापे इत्यादींची मॅट्रिक पद्धती ही दशमान पद्धती आहे.
* लांबी मोजण्यासाठी मिलिमीटर ,सेंटीमीटर, मीटर, किलोमीटर ही एकके वापरतात.
* वस्तुमान मोजण्यासाठी मिलीग्रॅम ,ग्रॅम ,किलोग्रॅम ही एकके वापरतात.
* धारकता मोजण्यासाठी मिलीलिटर ,लिटर हे एकक वापरतात.
* दुपारचे बारा वाजले म्हणजे माध्यान झाले असे म्हणतात.
* दुपारी बारापासून रात्री बारा पर्यंतच्या काळास मध्यनोत्तर काळ म्हणतात.
* रात्री बारापासून दुपारी बारापर्यंतच्या काळास मध्यान पूर्व काळ म्हणतात.
* परिमिती : बंदिस्त असलेल्या आकृतीच्या सर्व बाजूंच्या लांबीची बेरीज म्हणजे त्या आकृतीची परिमिती होय.
* त्रिकोणाची परिमिती = तीन बाजूंच्या लांबीची बेरीज
* आयताची परिमिती= 2× लांबी+ 2 × रूंदी
* चौरसाची परिमिती= 4× बाजू
* बहुभूजाआकृती परिमिती= सर्व बाजूंची बेरीज
* क्षेत्रफळ : आकृतीने सपाट पृष्ठभागावरील व्यापलेली जागा म्हणजे त्या आकृतीचे क्षेत्र होय या क्षेत्राचे माप म्हणजेच त्याचे क्षेत्रफळ होय.
* त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ= 1/2× पाया × उंची
* काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ= 1/2× काटकोन करणाऱ्या बाजूंच्या लांबीचा गुणाकार
* समभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ= √3/4× बाजू ×बाजू
* आयताचे क्षेत्रफळ = लांबी × रुंदी
* चौरसा चे क्षेत्रफळ= बाजू × बाजू
* समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ= 1/2 × कर्णाच्या लांबीचा गुणाकार
* समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ = पाया × उंची
* पतंगाकृतीचे क्षेत्रफळ = 1/2 × कर्णाच्या लांबीचा गुणाकार
* वर्तुळाचे क्षेत्रफळ= π × त्रिज्या × त्रिज्या
* अर्ध वर्तुळाचे क्षेत्रफळ= 1/2× π × त्रिज्या × त्रिज्या
* त्रिमिती आकार :
* घन : लांबी, रुंदी व उंची समान असणाऱ्या आकृतीला घन म्हणतात.
* घनाला 8 शिरोबिंदू 12 कडा व 6 चौरसाकार पृष्ठे असतात.
* घनाच्या सर्व कडा समान लांबीचे असतात.
* घनाच्या सर्व पृष्ठे समान लांबीचे असतात.
* इष्टिकाचिती : (इष्टिका म्हणजे वीट) ज्या आकृतीचा आकार विटेसारखा( म्हणजे लांबी, रुंदी व उंची वेगवेगळी) असतो त्या आकृतीला इष्टिकाचिती म्हणतात.
* इष्टिकाचितीला 8 शिरोबिंदू 12 कडा व 6 आयताकार पृष्ठ असतात.
* इष्टिकाचितीची समोरासमोरची पृष्ठ समान असतात.
* दोन घन परस्परांना जोडल्यास इष्टिकाचितीची आकृती तयार होते.
* पृष्ठफळ : पृष्ठफळ म्हणजे वस्तूच्या बाजूंचे क्षेत्रफळ होय.
* घनाच्या एका पृष्ठाचे क्षेत्रफळ = बाजू ×बाजू
* घनाचे एकूण पृष्ठफळ = 6× बाजू× बाजू
* इष्टिकाचितीचे एकूण पृष्ठफळ = 2× ( लांबी × रूंदी+ रूंदी × उंची+ लांबी × उंची)
* घनाचे घनफळ= बाजू ×बाजू ×बाजू
* इष्टिकाचितीचे घनफळ = लांबी× रुंदी× उंची
कोणत्याही टिप्पण्‍या नाहीत:
टिप्पणी पोस्ट करा